Le Nombre Pi

Introduction :

Le nombre Pi est sans cesse réaffirmé, il occupe l’esprit des mathématiciens depuis l’antiquité.
Et encore aujourd’hui on cherche de trouver de plus en plus de décimales.
D’abord liées au besoins pratiques et quotidiens des anciens, les évaluations toujours plus précises du nombre Pi ont ensuite découlé, presque comme un jeu, des découvertes successives et foisonnantes de formules d’analyse toujours plus efficaces de la renaissance jusqu’au XIXe siècle.
Dans le XXème siècle les ordinateurs arrivent et changent toutes les perspectives. Puisqu’on ne chercher plus le résultat en lui-même mais la façon dont on pouvait l’obtenir.

I.  L’Histoire du nombre Pi

 

A.    L’antiquité

Les anciens avaient essentiellement besoin de la géométrie pour les mesures de surface de terre, ou dans l’architecture, par exemple pour évaluer la taille et la proportion des bâtiments.

Selon l’historien grec Herodote, on pouvait trouver de nombreuses relations géométriques dans les pyramides de Gizeh

Le plus ancien objet où Pi intervient plus ou moins implicitement est une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936 et qui remonte à la période 1900-1600 avant J.C. Elle évalue le périmètre d’un hexagone à 24/25  fois celui du cercle circonscrit. C’est la plus vieille approximation connue de Pi.

De même, pour revenir aux égyptiens, le célèbre papyrus de Rhind rédigé en écriture hiératique et découvert en 1855 par A. H. Rhind à Louxor relate une série de problèmes anciens recopiés par le scribe Ahmes. Le naffirme que l’aire d’un disque de diamètre  9 est égale à 64 , soit le carré du diamètre auquel on a retiré 1/9  de sa longueur (9-(1/9).9) . Ceci revient à estimer

Dans l’antiquité, on s’est visiblement rendu compte assez vite que le rapport du périmètre d’un cercle sur son diamètre était constant. Nous savons par ailleurs que les Egyptiens avaient compris que le rapport lié au périmètre d’un cercle et celui lié à l’aire du cercle étaient les mêmes.

Ainsi, après les Egyptiens et les Babyloniens, c’est un peu le vide... Les Chinois vers -1200 donnent 3 pour valeur, ce qui dénote tout de même un certain manque de recherches sur le sujet ! La Bible, manquant un peu d’inspiration divine pour l’occasion, fournit elle aussi 3 pour valeur de Pi vers -550 av. J.C..

Les mathématiciens grecs de l’antiquité sont souvent considérés comme les premiers à réellement se soucier des démonstrations. Les problèmes qui les occupaient restaient cependant majoritairement géométriques.

Le problème de la quadrature du cercle se ramena donc rapidement au milieu du XIXe siècle à celui de la transcendance de .La distance qui séparait les conceptions géométriques grecques de l’expression formelle du problème de la quadrature du cercle explique la lente maturation des mathématiciens vers la démonstration finale et rigoureuse de la transcendance de  Pi en 1882 par Lindemann , qui clôtura ce débat vieux de plus de 23 siècles .

 

La méthode d’exhaustion est généralement attribué a Antiphon  (vers 430 avant J.C.) ou Eudoxe de Cnide (408-355 avant J.C.) elle consiste à construire un polygone dont le nombre de côtés augmenterait jusqu’à ce qu’il devienne indiscernable du cercle. Le brillant Euclide (330-275 avant J.C.) écrit néanmoins qu’en considérant un polygone avec un grand nombre de côtés, on peut « rendre la différence entre l’aire à calculer et l’aire des polygones qu’on construit plus petite que toute quantité positive pré-assignée, aussi petite soit-elle  » ce qui est une conception étonnamment proche de la formalisation des limites dans les mathématiques du XIXe siècle. Il en déduisit d’ailleurs que l’aire du cercle était proportionnelle au carré de son diamètre.

Il faut cependant attendre Archimède (287-212 avant J.C.) et son traité “De la mesure du cercle” pour que cette idée soit efficacement appliquée à l’évaluation de Pi .

Reprenant le principe d’exhaustion, il exhibe une relation formelle entre le périmètre du polygone à  n côtés et celui à  2n côtés. Partant de deux hexagones respectivement inscrit et circonscrit, il obtient l’approximation avec deux polygones à 96 côtés.  Ce calcul absolument sidérant fut mené sans aucune notation algébrique, numération cohérente (les grecs utilisaient une numération additive comme les romains), ni connaissance de la trigonométrie, et avec la seule géométrie d’Euclide.

 

Après Archimède, la nuit mathématique tombe sur l’Occident pendant 1500 ans...

Mais il se passe des choses ailleurs. Même si les mathématiciens asiatiques, arabes ou indiens se contenteront d’appliquer la même méthode qu’Archimède, ou une variante légère pendant près de 20 siècles, ils proposent des approximations toujours meilleures. Ainsi, en Inde, on travaille aussi puisque Aryabhata propose, vers 500 ap. J.C., 3 décimales exactes. Mais c’est en Chine où le système décimal a toujours été utilisé, que les progrès sont les plus rapides. Tsu Chung Chih semble être le premier à avoir proposé la fraction célèbre 355/113 = 3,14159292... vers 480 ap. J.-C. soit 6 décimales.  Les Arabes et Perses ne sont pas en reste puisque dans son système Hexagésimal, Al Kashi calcule avec virtuosité 14 décimales en 1429.

Mais la notation décimale commence lentement à s’imposer en Europe au Moyen Âge et c’est alors tout naturellement que l’Occident se réveille : c’est Fibonacci, l’un des seuls grands mathématiciens de l’époque et adepte de la notation décimale, qui s’illustre tout d’abord et obtient Pi = 3,1418...

Il n’y eut guère de progrès réel pendant cette période essentiellement à cause de l’utilisation exclusive de l’approche géométrique, qui trouvait là ses limites dans le calcul des décimales de Pi.

B.   XVIIIe siècle - fin XIXe siècle

Le calcul différentiel va bouleverser les mathématiques... Les résultats apparaissent rapidement et la recherche sur Pi va en bénéficier comme aucune autre. C’est la première fois que des formules ne traduisent plus directement le lien entre la géométrie par laquelle on définit Pi et  Pi lui-même. C’est d’ailleurs une des choses qui à mon avis fascinent le plus dans l’étude de Pi . On a affaire à de grosses formules dans lesquelles il est bien difficile de reconnaître une propriété géométrique, et pourtant on obtient Pi . Et la prime à la recherche d’une solution concernant le fameux problème de la quadrature du cercle offerte par l’académie des Sciences engendre un intérêt toujours grand sur la géométrie

Pi, ce n’est pas seulement la géométrie et l’analyse ! Buffon  (1707-1788) nous prouve avec son célèbre problème de l’aiguille que Pi  intervient aussi dans le domaine des probabilités. Bien sûr, ce résultat est toujours dû à la définition de Pi  comme composante de l’aire et du périmètre du cercle, mais le théorème de Cesàro (1859 - 1906) confirmera l’incursion de  Pi dans les probabilités...

À partir de Newton, ce sont plutôt des mathématiciens de second plan qui se battent pour le record de décimales. D’ailleurs, le nombre de décimales déjà calculé en ces temps est bien supérieur aux véritables besoins des mathématiciens et des physiciens. On estime en effet que pour calculer la circonférence de l’univers avec la précision d’un atome d’hydrogène, seules 39 décimales de Pi sont requises. à l’aube du XVIIIe et du XIXe siècle, le problème de l’irrationnalité de Pi , autrement dit l’impossibilité d’écrire  Pi sous la forme d’un rationnelle, tracasse toujours les mathématiciens. Ils la soupçonnent vraie depuis longtemps mais n’avaient jamais réussi à la prouver. Avec les progrès de l’analyse, Euler  montre celle de  et Johann Lambert (1728-1777) apporte une réponse au problème pour  Pi en 1761. Sa démonstration plutôt lourde s’appuie sur un développement en fraction continue de la fonction . Pi est bien irrationnel. Voilà en fait le résultat peut-être paradoxalement le plus important que l’on ait trouvé sur la répartition des décimales de Pi tant cette dernière demeure un mystère encore de nos jours. L’irrationnalité indique ainsi qu’elles ne sont pas périodiques.

 

Bien que Pi continue à apparaître dans de nombreux résultats, le XIXe siècle se tourne plutôt vers l’algèbre et l’arithmétique avec Galois, Abel, Sophie Germain et les tout nouveaux théoriciens de la géométrie non euclidienne tels Gauss, Beltrami, Lobatchevski et Bolyai. Le calcul des décimales semble aussi s’essouffler après la deuxième moitié du XIXe siècle.

De plus, le plus vieux problème mathématique se trouve résolu par Lindemann en 1882 lorsqu’il démontre la transcendance de . La quadrature du cercle est donc impossible

 

C.    L’ordinateur prends le relai

 

Srinivasa Ramanujan, va se charger de donner un souffle nouveau aux recherches menées autour de Pi . Lui-même passionné par cette constante, c’est un autodidacte complet qui passa les 25 premières années de sa vie à reconstruire les mathématiques à partir d’un unique ouvrage de 6165 théorèmes sans démonstration (“Synopsis of elementary results in pure and applied mathematics” de G.S.Carr). Cet état d’esprit le conduisit à énoncer la plupart de ses résultats sans démonstration

Après Ramanujan qui meurt prématurément en 1920, c’est le désert théorique... jusqu’en 1976. Donc, pendant ce temps, on calcule... Après la guerre, l’avènement des machines à calculer fait progresser la course aux décimales à pas de géants ! Ferguson ouvre le bal en 1946 en obtenant 620 décimales à l’aide d’un calculateur de bureau. Le premier calcul sur ordinateur est confié au fameux ENIAC en 1949 qui rend 2037 décimales en 70 heures à l’aide de la formule de Machin 10.

En 1973, Guilloud et Bouyer atteignent le premier million de décimales sur CDC 7600 à l’aide de deux formules d’ célèbres, celles de Gauss et de Störmer

Le calcul en binaire prit respectivement 22h11 et 13h40, et la conversion en base décimale 1h07. Un livre de 415 pages de décimales tiré de ce calcul fut qualifié à l’époque de “livre le plus ennuyeux du monde”

Nombre de décimales calculées à la main dans l’histoire. Les échelles sont logarithmiques.

Nombre de décimales obtenues à l’aide de calculateurs ou d’ordinateurs au XXème siècle. L’échelle des décimales est logarithmique.

II.  Méthode d’estimation

 

A.     Méthode de Monte-Carlo

 

Le terme méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis, et publié pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam.

Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.

On utilise cette méthode pour déterminer une valeur de Pi .

Soit un point M de coordonnées (x, y), où 0<x<1 et 0<y<1. On tire aléatoirement les valeurs de x et y entre 0 et 1 suivant une loi uniforme. Le point M appartient au disque de centre (0,0) de rayon R=1 si et seulement si x2+y2≤1. La probabilité que le point M appartienne au disque est puisque le quart de disque est de surface et le carré qui le contient est de surface S=R²=1 dans le quart de disque ou en dehors étant la même, la probabilité de tomber dans le quart de disque vaut 

En faisant le rapport du nombre de points dans le disque au nombre de tirages, on obtient une approximation du nombre π4 si le nombre de tirages est grand.

Mais cette méthode peut servir à estimer la valeur d’un coup au go, la superficie d’un lac, la valeur d’un coup aux échecs…

B.    Méthode d’exhaustion

 

En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe.

Dans le cas du calcul de l'aire A d'une figure plane, la méthode d'exhaustion consiste en un double raisonnement par l'absurde : on suppose que son aire est strictement supérieure à A, puis on aboutit à une contradiction ; on suppose ensuite que son aire est strictement inférieure à A, puis on aboutit à une autre contradiction. On parvient ainsi à montrer que l'aire de la figure est A.

Le principe de la méthode d'exhaustion est le suivant. Soit un disque de diamètre D et d'aire A, et un deuxième disque de diamètre D' et d'aire A'. Il s'agit de montrer que A/A' = D²/D'².

Supposons que ce ne soit pas le cas et que A/A' > D²/D'². Soit B une aire telle que B/A' = D²/D'². On a donc A > B. Inscrivons dans le disque d'aire A un polygone d'aire C tel que A> C > B et dans le disque d'aire A' un polygone d'aire C' semblable au polygone d'aire C. D'après la proposition montrée sur les polygones, on a C/C' = D²/D'² = B/A'. Or C' < A'. Donc C < B, ce qui est absurde. On ne peut donc pas avoir A/A' > D²/D'².

De la même manière, en supposant que A/A' < D²/D'², on aboutit à une contradiction. On a donc A/A' = D²/D'².

Supposons que ce ne soit pas le cas et que A/A' > D²/D'². Soit B une aire telle que B/A' = D²/D'². On a donc A > B. Inscrivons dans le disque d'aire A un polygone d'aire C tel que A> C > B et dans le disque d'aire A' un polygone d'aire C' semblable au polygone d'aire C. D'après la proposition montrée sur les polygones, on a C/C' = D²/D'² = B/A'. Or C' < A'. Donc C < B, ce qui est absurde. On ne peut donc pas avoir A/A' > D²/D'².

De la même manière, en supposant que A/A' < D²/D'², on aboutit à une contradiction. On a donc A/A' = D²/D'².

Archimède démontre ensuite par cette même méthode qu'un cercle délimite une aire égale à celle d'un triangle rectangle dont l'un des côtés adjacents à l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et l'autre est égal à la circonférence de celui-ci. Cela établit que le rapport de l'aire d'un disque au carré du rayon est identique au rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, résultat qui est à l'origine du nombre pi

Les calculs donnent :
Longueur du polygone régulier à 6 x 2n côtés inscrit inscrit dans le cercle :

In = 6 x 2n x sin ( pi / 6 x 2n)

Longueur du polygone régulier à 6 x 2n côtés circonscrit au cercle :   Cn = 6 x 2n x tan ( pi / 6 x 2n)

III.   Codage d’une méthode

Avec ce code on va simuler le lancement de n fléchettes sur une cible qui correspond a un carré Noir de coté 1 et un cercle Rouge.

Le jet est complètement aléatoire, donc la probabilité qu'elles atterrissent sur la partie rouge est proportionnelle à la surface de cette partie rouge. Cela se comprend intuitivement plus une partie est grande, plus on a de chance de "tomber" dedans. Plus précisément, on a p = « Probabilité que la fléchette soit dans le rouge » = (Surface Rouge )/(Surface Totale)

On cherche donc à connaitre p.

Le disque de rayon R a une surface de π R². R étant 1 on a donc une surface de (π/4).

Il y’a un autre moyen d’estimer p on considère que p est égal à

(Nombre de points dans le rouge)/(Nombre de points total).
En prenant par exemple 82 dans le rouge sur 100 jets

On a donc π = (82/100)*4 = 3.28

Mais plus il y’a de jets plus le résultat sera précis, donc pour simuler cela on va coder un petit programme.

On va d’abord simuler le lancer de fléchettes dans la cible de coté 1.

Il suffit de tirer 2 nombres compris entre 0 et 1.

Maintenant, pour tirer les fléchettes :

Ainsi les variables x et y contiennent l’abscisse et l’ordonnée de la fléchette.

Pour vérifier que la fléchette est bien dans la cible rouge il suffit d’utiliser cette formule :

On finit donc avec programme complet :

Avec donc un jet de 200 000 000 de fléchettes on atteints ce résultat.

On a donc un résultat très peu précis après beaucoup de jets.

 

Conclusion :

Le nombre pi est donc au centre des débats mathématiques depuis bien longtemps.

Depuis l’antiquité, le monde mathématique cherche le maximum de décimal de ce nombre.

Avant l’arrivée des ordinateurs, les mathématiciens utilisaient pleins de théroème et calculaient tout ça à la main. Mais l’arrivée des ordinateurs ont révolutionné tout ca et ont permis de trouver de plus en plus de décimales de pi.

Mais on est toujours en train d’établir des records pour ce nombre…

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